2/ La manipulation d’objets dans l’espace

Nous avons ainsi vu que l’infographie 3D consiste à modéliser des objets virtuels (ou  des maillages pour être plus exact), en plaçant des vertices dans un espace tridimensionnel, et en définissant la manière dont ils sont connectés entre eux (faces, arêtes). Cependant le tout est de pouvoir manipuler les maillages dans l’espace. C’est-à-dire, quel est l’intérêt de modéliser un maillage sans pouvoir modifier sa forme, le faire bouger, pivoter, ou encore changer sa taille ? Ceci nous mène donc à expliquer les principes mathématiques qui permettent cela.

Différents types de manipulation existent, mais nous n’allons étudier que les trois les plus utiles : La translation, l’homothétie et la rotation.

                                                 

                                                          La translation 

 Une translation (vectorielle) est simplement un déplacement d’objet.

 Une translation de vecteur (a ; b ; c), consiste à associer à un point P(x ; y ; z) un point P’ (x’ ; y’ ; z’) tel que:

x’= x + a    ;     y’= y + b       ; z’= z +c

Figure 1 : Translation

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Dans l’image ci-dessus, nous voyons un exemple de translation d’objet. Elle a été faite dans le plan et non pas dans l’espace uniquement pour simplifier la démonstration. Le carré rouge est l’image du carré noir par la translation vectorielle(2 ;1).

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                                                       L’homothétie 

    Parmi les manipulations les plus utilisées en infographie 3D, figurent les changements d’échelle (agrandissements ou rétrécissements) ; c’est pour cela que l’homothétie est utilisée.

 L’homothétie de centre O, centre du repère (tridimensionnel) consiste à associer à un point P(x ;y ;z), un point P’(x’ ;y’ ;z’) tel que :

x’= x × Sx    ;    y’= y × Sy      ; z’= z × Sz

Sx, Sy, et Sz sont appelés des scalaires. Ce sont des réels qui « contrôlent » l’agrandissement (ou le rétrécissement) que l’on veut faire subir à un maillage sur les différents axes du repère (respectivement l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et l’axe des cotes).

Figure 2 : Homothétie de centre O, avec Sx = Sy = 2

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Nous constatons qu’en plus du changement de taille du carré dans la Figure 2, il est décalé vers la droite. Comment explique-t-on cela ?

Mettons que Sx = Sy = Sz = k. Une homothétie revient alors à faire :

= k ×

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 Nous comprenons ainsi pourquoi le carré « se déplace ». Toutefois, en infographie 3D,  on cherche le plus souvent à agrandir ou rétrécir un maillage sans que celui-ci ne se déplace. Comment procéder alors pour empêcher cela ?

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  Il s’agit tout simplement de faire deux translations ; une avant, et une après l’homothétie :

Soit C le centre du carré. Il faut alors translater tous les points du carré par le vecteur . De cette manière, C’ (image de C par la translation ) se trouve sur O. (Figure 3.1). Puis, on effectue l’homothétie (de centre O), car vu que le centre du carré coïncide avec le centre du repère, alors l’agrandissement a lieu sans qu’il n’y ait de « déplacement » (Figure 3.2).  Ensuite, l’ensemble des points du carré obtenu est translatés par le vecteur (Figure 3.3). Enfin, le logiciel remplace les coordonnées initiales des points du carré par leurs nouvelles coordonnées. Ainsi, nous avons l’impression que l’agrandissement a été fait autour du centre de l’objet modélisé.

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                                                            Figure 3.1

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                                                            Figure 3.2

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                                                           Figure 3.3

                                                       

                                                         La rotation 

 La rotation est une des manipulations de base en infographie 3D. Elle consiste à faire pivoter un objet (maillage) dans l’espace, autour d’un axe donné. En effet, les infographistes décomposent une rotation dans l’espace en trois mouvements : la rotation autour de l’axe des abscisses, des ordonnées, puis des cotes.

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  • La rotation autour de l’axe des cotes :

 Elle associe à un point P (x ; y ; z), un point P’ (x’ ; y’ ; z’), tel que :

x’= cos(α+ β) x OP

(Car x’/OP= cos (α + β), avec OP: distance de P par rapport à l’origine O ; α: angle de rotation initial de P ;   β: angle de la rotation à effectuer)

y’= sin(α+ β) x OP

z’= z

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Figure 4 : Rotation du point P (autour de l’axe des cotes)

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Figure 5.1 : Rotation autour de l’axe des cotes

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  • La rotation autour de l’axe des abscisses :

  Elle associe à un point P(x ; y ; z), un point P’(x’ ; y’ ; z’), tel que :

y’= cos(α+ β) x OP

(Avec α: angle de rotation initial de P autour de l’axe des abscisses ;   β: angle de la rotation à effectuer autour de l’axe des abscisses)

z’= sin(α+ β) x OP

x’= x

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 Figure 5.2 : Rotation autour de l’axe des abscisses

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  • La rotation autour de l’axe des ordonnées :

 Elle associe à un point P(x ; y ; z), un point P’(x’ ; y’ ; z’), tel que :

z’= cos(α+ β) x OP

(avec α: angle de rotation initial de P autour de l’axe des ordonnées ;   β: angle de la rotation à effectuer autour de l’axe des ordonnées)

x’= sin(α+ β) x OP

y’= y

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Figure 5.3 : Rotation autour de l’axe des ordonnées

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  Lors de la rotation, les infographistes rencontrent le même problème que dans le cas de l’homothétie. C’est-à-dire, l’objet tourne autour d’un axe (selon le type de rotation), au lieu de « pivoter » sur lui-même. Mais la résolution de ce problème est identique à celle que nous avions expliquée pour l’homothétie ; effectivement, tous les points du maillage sont translatés de manière à ce que son centre C coïncide avec le centre O du repère. Ensuite, la rotation est effectuée, puis, tous les points sont translatés, de manière à ce que C retrouve sa position initiale.

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